Bedeutung der Logarithmen

Logarithmen haben seit dem Aufkommen von Taschenrechnern für das „alltägliche Rechnen“ stark an Bedeutung verloren. Vorher waren Logarithmen eine grosse Hilfe beim Rechnen, weil damit Multiplikationen zu Additionen und, noch wichtiger, Divisionen zu Subtraktionen vereinfacht werden konnten. 

Heute spielen Logarithmen vorallem eine Rolle bei logarithmischen und semilogarithmischen Darstellungen, zur Darstellung stark unterschiedlicher Werte (z.B. pH-Wert) und bei physikochemischen Gleichungen (z.B. Nernst’sche Gleichung bei ionenselektiven Elektroden).

Definition der Logarithmen

Ausgangspunkt ist die Gleichung: 

a = b^c 

(gesprochen: a gleich b hoch c)

Alle 3 Variablen (a,b und c) können grundsätzlich als Gleichungsvariable, d.h. als Unbekannte x, behandelt werden.

*) SQR = square root = Quadratwurzel, in der Regel durch ein Wurzelzeichen dargestellt.

Tritt der Exponent als Variable auf, so spricht man von einer Exponentialgleichung. Zur Berechung des Exponenten wird ein spezielles Rechenzeichen (bzw. eine Rechenvorschrift) benötigt: der Logarithmus.

c = _blog a

(gesprochen: x gleich Logarithmus von a zur Basis b)

Alle Logarithmen mit der gleichen Basis bilden ein Logarithmensystem. Von allen möglichen Logarithmensystemen mit einer Basis a>1 werden aber praktisch nur zwei verwendet, nämlich das System der dekadischen Logarithmen (Basis = 10), auch als Brigg’sche Logarithmen bezeichnet und das System der natürlichen Logarithmen (Basis = e).

Die dekadischen Logarithmen

DEFINITION: Logarithmen mit der Basis 10 heissen dekadische oder Brigg'sche Logarithmen. Sie werden meist mit lg oder log abgekürzt (siehe Taste des Taschenrechners). 

Falls: a = 10^x so ist: lg a = x

Daraus geht hervor, dass man jede positive Zahl mit Hilfe des Logarithmierens als Potenz der Zahl 10 darstellen kann. So ist allgemein bekannt dass: 

10⁰ = 1
10¹ = 10
10² = 10 · 10 = 100
10³ = 10 · 10 · 10 = 1000

10^? ist aber beispielsweise 87 ?
Berechnung: 87 = 10^x also ist: lg 87 = x, d.h. lg 87 = 1.939519
Lösung: 10^1.939519 = 87

Die natürlichen Logarithmen

Basis der natürlichen Logarithmen ist die Zahl e. Der natürliche Logarithmus wird meist mit ln (Logarithmus naturalis) abgekürzt. 

Falls a = e^x so ist ln a = x

Die Zahl e 

Die irrationale Zahl e ist nach dem grossen schweizerischen Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) benannt:

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 . . .

Die Lösung der Exponentialfunktion e^x, die zur Beschreibung aller Vorgänge geeignet ist, deren Zunahme bzw. Abnahme ihrem jeweiligen Betrag entspricht, führt über den Logarithmus naturalis.

Beispiele für exponentiales Wachstum bzw. exponentielle Verminderung: 

• Bei ungebremsten Wachstumsprozessen ist die Wachstumsgeschwindigkeit stets dem momentanen Stand des Wachstums proportional: je mehr Bakterien in einer Kultur vorhanden sind, desto schneller wächst die Kultur an.
• Bei chemischen Reaktionen ist die Reaktionsgeschwindigkeit in jedem Zeitmoment der an der Reaktion beteiligten Moleküle proportional.
• Die Zerfallsgeschwindigkeit einer radioaktiven Substanz ist der in diesem Moment vorhandenen Menge an radioaktiver Substanz proportional.

Anmerkung: die Zahl e lässt sich auf dem Taschenrechner mit folgender Überlegung ganz einfach darstellen: e = e¹ . Also 1 eingeben und auf Taste e^x drücken (hoffentlich vorhanden).

Umrechnung der Logarithmensysteme

Dekadische Logarithmen können in  natürliche Logarithmen umgerechnet werden und umgekehrt: 

 dekadischer Logarithmus mal 2.303 = natürlicher Logarithmus

Diese Umrechnung findet man beispielsweise in der Formel von Nernst. 

Die Logarithmengesetze

Es werden hier nur die beiden wichtigsten Gesetze aufgeführt.

• Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren:
  log (m · n) = log m + log n
• Der Logarithmus einer Potenz wird erhalten, indem man den Logarithmus der Grundzahl mit dem Exponenten multipliziert:
  log mⁿ = n · log m

Das letzte Gesetz spielt eine grosse Rolle bei der Lösung von Exponentialgleichungen, wie folgendes Beispiel zeigt: 

xxxx

24.11.2001 / hpk